Question

16．已知ABC-A₁B₁C₁是各棱長(zhǎng)均等于a的正三棱柱，D是側(cè)棱CC₁的中點(diǎn)，則直線AD與平面ABB₁A₁所成角的正弦值是$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

Answer 1

分析 作出D到平面ABB₁A₁的垂線，求出垂線段與AD的長(zhǎng)，再計(jì)算線面角．

解答 解：取AB，A₁B₁的中點(diǎn)M，M₁，連接MM₁，取MM₁的中點(diǎn)N，連接DN，AN．
∵△A₁B₁C₁是等邊三角形，
∴C₁M₁⊥A₁B₁，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，C₁M₁?平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥C₁M₁，
∴C₁M₁⊥平面ABB₁A₁，
∵C₁D$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AA₁，M₁N$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AA₁，
∴C₁D$\stackrel{∥}{=}$M₁N，
∴四邊形C₁DNM₁是平行四邊形，
∴DN∥C₁M₁，
∴DN⊥平面ABB₁A₁，
∴∠DAN為AD與平面ABB₁A₁所成的角．
設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為1，則DN=C₁M₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AD=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴sin∠DAN=$\frac{DN}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面角的做法與計(jì)算，構(gòu)造垂線段做出線面角是解題關(guān)鍵，也可以利用空間向量來解決問題，屬于中檔題．