Question

3．向量$\overrightarrow{a}$=（x，4，5），$\overrightarrow$=（1，-2，2），且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{6}$，則x的值為3．

Answer 1

分析 根據(jù)向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的坐標(biāo)表示，求出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角的余弦值，由此列出方程求出x的值．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（x，4，5），$\overrightarrow$=（1，-2，2），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=x-2×4+2×5=x+2，
|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{x}^{2}{+4}^{2}{+5}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+41}$，
|$\overrightarrow$|=$\sqrt{{1}^{2}{+（-2）}^{2}{+2}^{2}}$=3；
又$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角的余弦值為：
cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow|}$=$\frac{x+2}{\sqrt{{x}^{2}+41}×3}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，
整理得x²+8x-33=0，
解得x=-11（不合題意，舍去）或x=3；
∴x的值為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用問題，也考查了兩向量夾角余弦的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．