Question

15．已知不等式x²-（a+1）x+1＞0．
（1）若對x∈[2，3]恒成立，求a的取值范圍；
（2）若對a∈[1，3]恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用常數(shù)分離法進行求解即可．
（2）利用轉化變量法，以a為主變量，構造函數(shù)轉化為一元一次函數(shù)進行求解．

解答 解：（1）若對x∈[2，3]恒成立，則由x²-（a+1）x+1＞0得x²+1＞（a+1）x，
即a+1＜x+$\frac{1}{x}$在x∈[2，3]恒成立，
設f（x）=x+$\frac{1}{x}$，則函數(shù)f（x）在x∈[2，3]上為增函數(shù)，
則函數(shù)的最小值為f（2）=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
則a+1＜$\frac{5}{2}$，即a＜$\frac{3}{2}$，
即a的取值范圍是（-∞，$\frac{3}{2}$）；
（2）若對a∈[1，3]恒成立，則不等式x²-（a+1）x+1＞0等價為-ax+x²-x+1＞0，
設h（a）=-ax+x²-x+1，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{h（1）＞0}\\{h（3）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+1＞0}\\{{x}^{2}-4x+1＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x≠1}\\{x＞2+\sqrt{3}或x＜2-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
得x＞2+$\sqrt{3}$或x＜2$-\sqrt{3}$且x≠1，
即實數(shù)x的取值范圍是x＞2+$\sqrt{3}$或x＜2$-\sqrt{3}$且x≠1．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法以及轉化變量法是解決本題的關鍵．