Question

18．等差數(shù)列{a_n}中，已知a₃=5，且a₁，a₂，a₃為遞增的等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式${b_n}=\left\{\begin{array}{l}{a_{\frac{n+1}{2}}}，n=2k-1\\{2^{\frac{n}{2}-1}}，n=2k\end{array}\right.$（k∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意$（{{a_3}-2d}）（{{a_3}+2d}）={（{{a_3}-d}）^2}$，a₃=5，單人化簡解出即可得出．
（Ⅱ）對(duì)n分類討論，分組求和即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意$（{{a_3}-2d}）（{{a_3}+2d}）={（{{a_3}-d}）^2}$，a₃=5．
即d²-2d=0，解之得d=2，或d=0（舍去），
所以a_n=a₃+（n-3）d=2n-1，即a_n=2n-1，n∈N^*為所求．
（Ⅱ）當(dāng)n=2k，k∈N^*時(shí)，
S_n=b₁+b₂+…+b_n=b₁+b₃+…+b_2k-1+b₂+b₄+…+b_2k=a₁+a₂+…+a_k+（2⁰+2¹+…+2^k-1）
=$\frac{{k（{1+2k-1}）}}{2}+\frac{{1-{2^k}}}{1-2}$=k²+2^k-1=$\frac{n^2}{4}+{2^{\frac{n}{2}}}-1$；
當(dāng)n=2k-1，k∈N^*時(shí)，n+1=2k，S_n=S_n+1-b_n+1=$\frac{{{{（{n+1}）}^2}}}{4}+{2^{\frac{n+1}{2}}}-1-{2^{\frac{n+1}{2}-1}}$=$\frac{{{n^2}+2n-3}}{4}+{2^{\frac{n-1}{2}}}$．
綜上，${S_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{n^2}{4}+{2^{\frac{n}{2}}}-1，n=2k\\ \frac{{{n^2}+2n-3}}{4}+{2^{\frac{n-1}{2}}}，n=2k-1\end{array}\right.$（k∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．