Question

甲、乙兩地相距S　ｋｍ，汽車從甲地勻速行駛到乙地，已知汽車每小時的運輸成本(單位：元)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度ｘ（ｋｍ／ｈ）的平方成正比，比例系數(shù)為ａ，固定部分為ｂ元，請問，是不是汽車的行駛速度越快，其全程運輸成本越小?如果不是，那么為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大的速度行駛?

 

Answer 1

答案：
解析：

設汽車運輸成本為ｙ元，依題意得汽車運輸成本ｙ與汽車行駛速度ｘ之間的關系為： ｙ＝ｂ·＋ａｘ２·  ∴ｙ＝Ｓ（ａｘ＋）（其中ｘ∈（０，＋∞））即將此時的問題轉化成“函數(shù)ｙ＝Ｓ（ａｘ＋）是否隨著ｘ的不斷增大而減小?當ｘ取何值時，ｙ取最小值?”下面討論函數(shù)ｙ＝Ｓ（ａｘ＋）（ｘ∈（０，＋∞），ａ＞０，ｂ＞０）在其定義域內的單調性. 設ｘ１，ｘ２∈（０，＋∞），且ｘ１＜ｘ２，則 f（ｘ１）－f（ｘ２）＝Ｓ［（ａｘ１＋）－（ａｘ２＋）］ ＝Ｓ［ａ（ｘ１－ｘ２）＋］ ＝ ＝ ∵ｘ１，ｘ２＞0，且ｘ１＜ｘ２ ∴ｘ１ｘ2＞０，ａ（ｘ１－ｘ２）＜０ ∴當ｘ１，ｘ２∈（０，）時，ｘ１ｘ２＜，ｘ１ｘ２－＜０  ∴f（ｘ１）＞f（ｘ２） 當ｘ１，ｘ２∈［，＋∞］時， ｘ１ｘ２＞，ｘ１ｘ２－＞０，f（ｘ１）＜f（ｘ２） 綜上所述，我們看到函數(shù)ｙ＝ｓ（ａｘ＋）（ａ＞０，ｂ＞０）并不是整個區(qū)間（０，＋∞）上是隨著ｘ的不斷增大而減小的，而且由上述分析可看出當ｘ＝時，ｙ取得最小值即ｙｍｉｎ＝２ｓ.為了使全程運輸成本最小，汽車應以ｘ＝ｋｍ／ｈ的速度行駛.