Question

函數y=-

1

x

的圖象按向量

a

=（1，0）平移之后得到的函數圖象與函數y=2sinπx（-2≤x≤4）的圖象所有交點的橫坐標之和等于（　�。�

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：壓軸題,數形結合

分析：y1=

1

1-x

的圖象由奇函數y=-

1

x

的圖象向右平移1個單位而得，所以它的圖象關于點（1，0）中心對稱，再由正弦函數的對稱中心公式，可得函數y₂=2sinπx的圖象的一個對稱中心也是點（1，0），故交點個數為偶數，且每一對對稱點的橫坐標之和為2．由此不難得到正確答案．

解答： 解：函數y=-

1

x

的圖象按向量

a

=（1，0）平移之后得到函數y1=

1

1-x

，y₂=2sinπx的圖象有公共的對稱中心（1，0），作出兩個函數的圖象如圖：
當1＜x≤4時，y₁＜0，
而函數y₂在（1，4）上出現(xiàn)1.5個周期的圖象，
在（1，

3

2

）和（

5

2

，

7

2

）上是減函數；
在（

3

2

，

5

2

）和（

7

2

，4）上是增函數．
∴函數y₁在（1，4）上函數值為負數，且與y₂的圖象有四個交點E、F、G、H，
相應地，y₁在（-2，1）上函數值為正數，且與y₂的圖象有四個交點A、B、C、D，
且：x_A+x_H=x_B+x_G═x_C+x_F=x_D+x_E=2，故所求的橫坐標之和為8，
故選：D．

點評：發(fā)現(xiàn)兩個圖象公共的對稱中心是解決本題的入口，討論函數y₂=2sinπx的單調性找出區(qū)間（1，4）上的交點個數是本題的難點所在．