Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為α（α≠$\frac{π}{2}$）的直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρcos²θ-4sinθ=0．
（I）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)P（1，0）．若點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（1，$\frac{π}{2}$），直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M且與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Q，求|PQ|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，能求出直線l的普通方程；由曲線C的極坐標(biāo)方程能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）求出點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（0，1），從而直線l的傾斜角為$α=-\frac{3π}{4}$，由此能求出直線l的參數(shù)方程，代入x²=4y，得${t}^{2}-6\sqrt{2}t+2=0$，由此利用韋達(dá)定理和兩點(diǎn)間距離公式能求出|PQ|．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）．
∴直線l的普通方程為y=tanα•（x-1），
由曲線C的極坐標(biāo)方程是ρcos²θ-4sinθ=0，得ρ²cos²θ-4ρsinθ=0，
∴x²-4y=0，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²=4y．
（Ⅱ）∵點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（1，$\frac{π}{2}$），∴點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（0，1），
∴tanα=-1，直線l的傾斜角為$α=-\frac{3π}{4}$，
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.，（t為參數(shù)）$，
代入x²=4y，得${t}^{2}-6\sqrt{2}t+2=0$，
設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t₁，t₂，
∵Q為線段AB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)值為$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$，
又P（1，0），則|PQ|=|$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}$|=3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查弦長(zhǎng)的求法及應(yīng)用，考查兩點(diǎn)間距離公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程互化公式的合理運(yùn)用．