Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²，g（x）=$\frac{1}{x}$+x+b，且直線y=-$\frac{1}{2}$是函數(shù)f（x）的一條切線．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）對(duì)任意的x₁∈[1，$\sqrt{e}$]，都存在x₂∈[1，4]，使得f（x₁）=g（x₂），求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)直線y=-$\frac{1}{2}$與f（x）相切于點(diǎn)（x₀，lnx₀+ax₀²）（x₀＞0），求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，由已知切線方程，可得切線的斜率為0，及f（x₀）=-$\frac{1}{2}$，解方程可得a的值；
（Ⅱ）由題意可得f（x）在[1，$\sqrt{e}$]的值域包含于g（x）在[1，4]的值域．運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，
求得單調(diào)性，可得值域，再由不等式解得即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)直線y=-$\frac{1}{2}$與f（x）相切于點(diǎn)（x₀，lnx₀+ax₀²）（x₀＞0），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax=$\frac{2a{x}^{2}+1}{x}$，
依題意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a{{x}_{0}}^{2}+1}{{x}_{0}}=0}\\{ln{x}_{0}+a{{x}_{0}}^{2}=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=1}\\{a=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以a=-$\frac{1}{2}$，經(jīng)檢驗(yàn)：a=-$\frac{1}{2}$符合題意；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²，
所以f′（x）=$\frac{1}{x}$-x=$\frac{1-{x}^{2}}{x}$，
當(dāng)x∈（1，$\sqrt{e}$]時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）在[1，$\sqrt{e}$]上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x∈[1，$\sqrt{e}$]時(shí)，f（x）_min=f（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$e，f（x）_max=f（1）=-$\frac{1}{2}$，
$g'（x）=-\frac{1}{x^2}+1=\frac{{-1+{x^2}}}{x^2}$，
當(dāng)x∈（1，4]時(shí)，g′（x）＞0，所以g（x）在[1，4]上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x∈（1，4]時(shí)，g（x）_min=g（1）=2+b，$g{（x）_{max}}=g（4）=\frac{17}{4}+b$，
依題意得$[\frac{1}{2}-\frac{e}{2}，-\frac{1}{2}]⊆[2+b，\frac{17}{4}+b]$，
即有$\left\{{\begin{array}{l}{2+b≤\frac{1}{2}-\frac{e}{2}}\\{\frac{17}{4}+b≥-\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，
解得$-\frac{19}{4}≤b≤-\frac{3}{2}-\frac{e}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查任意存在性問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域包含關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．