Question

17．某校一塊空地的輪廓線如圖所示，曲線段OM是以O(shè)為頂點(diǎn)，ON為對(duì)稱軸且開(kāi)口向右的拋物線的一段，已知ON=4（單位：百米），MN=4．現(xiàn)計(jì)劃在該區(qū)域內(nèi)圍出一塊矩形地塊ABNC作為學(xué)生活動(dòng)區(qū)域，其余陰影部分進(jìn)行綠化建設(shè)，其中A在曲線段OM上，C在MN上，B在ON上．
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段OM所在的拋物線的方程；
（Ⅱ）為降低綠化成本，試確定A的位置，使綠化建設(shè)的面積取到最小值，并求出該最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以O(shè)為原點(diǎn)，ON所在直線為x軸，過(guò)O作ON的垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)曲線段OM所在方程為y²=2px（p＞0），求出p=2，即可得到曲線段OM所在拋物線方程．
（Ⅱ）為使綠化建設(shè)的面積取得的最小值，應(yīng)使矩形ABNC最大．設(shè)A（x₀，y₀），求出矩形ABNC的面積的表達(dá)式，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求和函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值．

解答 解：（Ⅰ）以O(shè)為原點(diǎn)，ON所在直線為x軸，過(guò)O作ON的垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)曲線段OM所在方程為y²=2px（p＞0），則由M（4，4）在拋物線上，得p=2，
∴曲線段OM所在拋物線方程為y²=4x
（Ⅱ）為使綠化建設(shè)的面積取得的最小值，應(yīng)使矩形ABNC最大．
設(shè)A（x₀，y₀），則${y_0}^2=4{x_0}（{0＜{x_0}＜4，0＜{y_0}＜4}）$，
則矩形ABNC的面積$S=（{4-{x_0}}）{y_0}=（{4-\frac{{{y_0}^2}}{4}}）{y_0}=-\frac{1}{4}{y_0}^3+4{y_0}$，
∴$S'=-\frac{3}{4}{y_0}^2+4$令S'=0，得${y_0}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，且S在${y_0}∈（{0，\frac{{4\sqrt{3}}}{3}}）$時(shí)單調(diào)遞增，
在${y_0}∈（{\frac{{4\sqrt{3}}}{3}，4}）$時(shí)單調(diào)遞減．∴當(dāng)${y_0}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$時(shí)${S_{max}}=\frac{{32\sqrt{3}}}{9}$
又∵曲邊形OMN的面積為$\int_0^4{2\sqrt{x}dx=\frac{4}{3}{x^{\frac{3}{2}}}\left|{\begin{array}{l}4\\ 0\end{array}=\frac{32}{3}}\right.}$，
∴當(dāng)$A（{\frac{4}{3}，\frac{{4\sqrt{3}}}{3}}）$時(shí)，綠化建設(shè)的面積取得最小值，最小值為$\frac{{32（{3-\sqrt{3}}）}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．