Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a_n+a_n+1=2ⁿ，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，求S_2n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a₁=1，且a_n+a_n+1=2ⁿ，可得當(dāng)n≥2時(shí)，an-1+an=2n-1．a(chǎn)_n+1-a_n-1=2^n-1，當(dāng)n為偶數(shù)2k（k∈N^*）時(shí)，a_2k=（a_2k-a_2k-2）+（a_2k-2-a_2k-4）+…+（a₆-a₄）+（a₄-a₂）+a₂，即可得出；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由a2k-1+a2k=22k-1，可得a2k-1=2k-1-

1

3

(4k-1)，即可得出．
（2）利用S_2n=（a₂+a₄+…+a_2n）+（a₁+a₃+…+a_2n-1）=（a₂+a₄+…+a_2n）+[（2-a₂）+（2³-a₄）+…+（a^2n-1-a_2n）]，即可得出．

解答： 解：（1）∵a₁=1，且a_n+a_n+1=2ⁿ，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，an-1+an=2n-1．
∴a_n+1-a_n-1=2^n-1，
當(dāng)n=1，2，3時(shí)，a₁+a₂=2，a₂+a₃=2²，a3+a4=23．
解得a₂=1，a₃=3，a₄=5．
當(dāng)n為偶數(shù)2k（k∈N^*）時(shí)，
a_2k=（a_2k-a_2k-2）+（a_2k-2-a_2k-4）+…+（a₆-a₄）+（a₄-a₂）+a₂
=2^2k-2+2^2k-4+…+2⁴+2²+1
=

4k-1

4-1

=

1

3

(4k-1)．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a2k-1+a2k=22k-1，
∴a2k-1=2k-1-

1

3

(4k-1)，
∴an=

1 3 (4k-1)，n=2k 22k-1- 1 3 (4k-1)，n=2k-1

（k∈N^*）．
（2）S_2n=（a₂+a₄+…+a_2n）+（a₁+a₃+…+a_2n-1）
=（a₂+a₄+…+a_2n）+[（2-a₂）+（2³-a₄）+…+（a^2n-1-a_2n）]
=2+2³+…+2^2n-1
=

2(4n-1)

4-1

=

2

3

(4n-1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“累加求和”，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．