Question

已知l₁是雙曲線的一條漸近線，l₂過(guò)焦點(diǎn)F（c，0）與漸近線l₁垂直的直線，l₃是焦點(diǎn)F（c，0）對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線，求證：直線l₁，l₂，l₃相交于一點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），求得其中一條漸近線方程，運(yùn)用兩直線垂直的條件可得l₂，聯(lián)立求得交點(diǎn)，說(shuō)明在雙曲線的右準(zhǔn)線上，即可得證．

解答： 證明：設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
則設(shè)l₁：y=

b

a

x，①
l₂過(guò)焦點(diǎn)F（c，0）與漸近線l₁垂直的直線，
即為l₂：y=-

a

b

（x-c），②
l₃是焦點(diǎn)F（c，0）對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線，即為l₃：x=

a2

c

，③
由①②解得，x=

a2c

a2+b2

=

a2c

c2

=

a2

c

，
y=

ab

c

．
則點(diǎn)（

a2

c

，

ab

c

）在直線l₃上．
故直線l₁，l₂，l₃相交于一點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查漸近線方程和準(zhǔn)線方程的運(yùn)用，同時(shí)考查兩直線垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題．