Question

4．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線(xiàn)C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，且F₂是拋物線(xiàn)C₂：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，P是雙曲線(xiàn)C₁與拋物線(xiàn)C₂在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，線(xiàn)段PF₂的中點(diǎn)為M，且|OM|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)C₁的離心率是（　�。�

• A． 2+$\sqrt{3}$
• B． 1+$\sqrt{2}$
• C． 2+$\sqrt{2}$
• D． 1+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)P在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的射影為A，在直角△F₁AP中．利用勾股定理，結(jié)合雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的定義，即可求出雙曲線(xiàn)的離心率．

解答 解：設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），F(xiàn)₂（c，0），設(shè)P在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的射影為A，
由雙曲線(xiàn)定義可得|PF₂|=|PF₁|-2a，
由拋物線(xiàn)的定義可得|PA|=x₀+c=2c-2a，∴x₀=c-2a，
在直角△F₁AP中，|F₁A|²=8ac-4a²，
∴y₀²=8ac-4a²，
∴8ac-4a²=4c（c-2a），
∴c²-4ac+a²=0，
∴e²-4e+1=0，
∵e＞1，
∴e=2+$\sqrt{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)與拋物線(xiàn)的定義，考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定關(guān)于幾何量的等式．