Question

9．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α∈[0，π）），在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₂：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）求C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）若曲線C₁與C₂交于A，B兩點，且|AB|＞$\sqrt{7}$，求α的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C₂：ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ代入可得C的直角坐標方程．
（Ⅱ）求出圓心到直線的距離d，利用|AB|＞$\sqrt{7}$，求α的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）曲線C₂：ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，化為直角坐標方程：x²+y²=4x，配方為  C₂：（x-2）²+y²=4，可得圓心（2，0），半徑r=2；
（Ⅱ）設曲線C₁的方程為y=k（x+1），即kx-y+k=0，圓心到直線的距離d=$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$
∵曲線C₁與C₂交于A，B兩點，且|AB|＞$\sqrt{7}$，
∴d=$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＞$\frac{3}{2}$，∴∴k＜-$\frac{\sqrt{3}}{3}$或k＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴30°＜α＜120°．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、直線與圓相交弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．