Question

14．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為梯形，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2BC=2，PA=AB=$\sqrt{3}$，E為CD中點．
（Ⅰ）求證：平面PAE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求點A到平面PCD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AC，利用線面垂直的判定定理證明CD⊥平面PAE，即可證明：平面PAE⊥平面PCD；
（Ⅱ）作AF⊥PE于F，證明AF⊥平面PCD，即可求點A到平面PCD的距離．

解答 （Ⅰ）證明：連結(jié)AC，AB=$\sqrt{3}$，BC=1，∠ABC=90°
可得AC=2，所以AD=AC，
又E為CD的中點，
所以AE⊥CD，------------------------------------------（2分）
因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
所以PA⊥CD，
又AE∩PA=A，故CD⊥平面PAE，----------------------------（5分）
而CD?平面PCD，故平面PAE⊥平面PCD-----------（6分）
（Ⅱ）解：作AF⊥PE于F，
由（Ⅰ）可知，CD⊥平面PAE，所以CD⊥AF．
又CD∩PE=E，故AF⊥平面PCD
∴AF為點A到平面PCD的距離----------------------------（9分）
由AD=2，AB=$\sqrt{3}$，BC=1，∠ABC=90°．
可得CD=2
因此AC=AD=CD=2，所以AE=$\sqrt{3}$．
又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA=AE=$\sqrt{3}$，因此PE=$\sqrt{6}$，
所以AF=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故A到平面PCD的距離為$\frac{\sqrt{6}}{2}$--------------------------------------------------------（12分）

點評 考查線面垂直的判定和性質(zhì)定理，點到面的距離，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．