Question

已知F₁、F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右兩個焦點，O為坐標原點，點P（-1，

2

2

）在橢圓上，線段PF₂與y軸的交點M滿足：點M是線段PF₂的中點；直線l：y=kx+m與以F₁F₂為直徑的圓O相切，并與橢圓交于不同的兩點A、B．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設

OA

•

OB

=λ，求證：λ=

k2+1

2k2+1

（3）當（2）中的λ滿足

2

3

≤λ≤

3

4

時，求△AOB面積S的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用PF₁⊥F₁F₂，c=1，結合點P（-1，

2

2

）在橢圓上，即可求橢圓的標準方程；
（2）圓O與直線l相切，可得m²=k²+1，直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理，利用向量的數量積公式即可證明；
（3）確定k的范圍，表示出面積，即可求△AOB面積S的取值范圍．

解答： （1）解：∵點M是線段PF₂的中點，
∴OM是△PF₁F₂的中位線
又OM⊥F₁F₂，∴PF₁⊥F₁F₂┅┅┅┅┅┅┅（2分）
∴

c=1 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

       
解得a²=2，b²=1，c²=1，
∴橢圓的標準方程為

x2

2

+y2+1┅┅┅┅┅┅┅（4分）
（2）證明：∵圓O與直線l相切，∴

|m|

k2+1

=1，∴m²=k²+1┅┅┅┅┅┅┅（5分）

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，消去y：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=

4km

1+2k2

，x₁•x₂=

2m2-2

1+2k2

，
∴y₁•y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=k²x₁x₂+km(x1+x2)+m2=

1-k2

1+2k2

┅┅┅┅┅┅┅（8分）
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

1+k2

1+2k2

=λ┅┅┅┅┅┅┅（9分）
（3）解：∵

2

3

≤λ≤

3

4

即

2

3

≤

1+K2

1+2K2

≤

3

4

，
∴

1

2

≤k2≤1┅┅┅┅┅┅┅（10分）
S=S_△ABO=

1

2

•|AB|•1=

1

2

•

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

1+k2

•

(- 4km 1+2k2 )2-4• 2m2-2 1+2k2

=

2(k4+k2) 4(k4+k2)+1

┅┅┅┅┅┅┅（12分）
設μ=k⁴+k²，則

3

4

≤μ≤2，S=

2μ 4μ+1

，μ∈[

3

4

，2]，
∵S關于μ在[

3

4

，2]單調遞增，S（

3

4

）=

6

4

，S（2）=

2

3

，
∴

6

4

≤S≤

2

3

┅┅┅┅┅┅┅（14分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．