Question

如圖，△ABO三邊上的點C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．
（l）求證：直線AB是⊙O的切線；
（2）若AD=2，且tan∠ACD=

1

2

，求⊙O的半徑r的長．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：（1）如圖所示，連接OC．由AB∥DE，可得

OA

OD

=

OB

OE

，由于OD=OE，可得OA=OB．由于AC=CB，可得OC⊥AB．即可得出直線AB是EO的切線．
（2）延長AO交⊙O于點F，連接CF．由（1）可得∠ACD=∠F．由tan∠ACD=

1

2

，可得tan∠F=

1

2

．由于△ACD∽△AFC，可得

CD

CF

=

AD

AC

=

1

2

，再利用切割線定理可得：AC²=AD•（AD+2r），即可得出．

解答： （1）證明：如圖所示，連接OC．
∵AB∥DE，∴

OA

OD

=

OB

OE

，∵OD=OE，∴OA=OB．∵AC=CB，∴OC⊥AB．∴直線AB是EO的切線．
（2）解：延長AO交⊙O于點F，連接CF．由（1）可得∠ACD=∠F．
∵tan∠ACD=

1

2

，∴tan∠F=

1

2

．
∵△ACD∽△AFC，
∴

CD

CF

=

AD

AC

=

1

2

，
而AD=2，∴AC=4．
由切割線定理可得：AC²=AD•（AD+2r），
∴4²=2×（2+2r），解得r=3．

點評：本題考查了圓的切線的性質(zhì)、切割線定理、相似三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．