Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

1

2

，直線x=2被橢圓E截得的弦長(zhǎng)為6，設(shè)F的橢圓E的右焦點(diǎn)，A為橢圓E的左頂點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)A、F，并且與橢圓的E右準(zhǔn)線l相切的圓的方程；
（3）若M為橢圓E的右準(zhǔn)線l上一點(diǎn)，連結(jié)AM交橢圓于點(diǎn)P，求

PM

AP

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由題意，得

c a = 1 2 4 a2 + 9 b2 =1 a2=b2+c2.

，由此能求出橢圓方程．
（2）由已知得F（2，0），A（-4，0），右準(zhǔn)線l為直線x=8，設(shè)圓心C（m，n），則

(m-2)2+n2 = (m+4)2+n2 (m-2)2+n2 =|8-m|

，由此能求出圓的方程．
（3）設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₀，則

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1，由此能求出

PM

AP

的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意，得

c a = 1 2 4 a2 + 9 b2 =1 a2=b2+c2.

，
解得a=4，b=2

3

，c=2，
∴所求橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1．…5分
（2）∵橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1，
∴F（2，0），A（-4，0），右準(zhǔn)線l為直線x=8，
設(shè)圓心C（m，n），則

(m-2)2+n2 = (m+4)2+n2 (m-2)2+n2 =|8-m|

，
解得m=-1，n=±6

2

，
∴圓半徑r=|8-（-1）|=9，
故所要求的圓的方程為(x+1)2+(y±6

2

)2=81．…10分
（3）設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₀，
則

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1，…14分
∵-4＜x₀≤4，∴

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1≥

1

2

．
∴

PM

AP

的取值范圍是[

1

2

，+∞）．…16分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程的求法，考查圓的方程的求法，考查

PM

AP

的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．