Question

2．函數(shù)f（x）=sin²x+cosx在區(qū)間[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上的最小值是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
• B． -$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
• C． -1
• D． $\frac{1-\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 將解析式化簡為關于cosx的二次函數(shù)形式，然后結合二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值求法解答

解答 解：因為f（x）=sin²x+cosx=1-cos²x+cosx，
設t=cosx，因為x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，所以t∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
所以函數(shù)y=-t²+t+1=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$在[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]先增后減，
且它的最小值為t=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時的函數(shù)值，是y_min=$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$；
即f（x）的最小值為$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了三角函數(shù)與二次函數(shù)相結合的函數(shù)最值的求法；本題關鍵是利用換元將解析式轉化為二次函數(shù)的解析式，注意新元的范圍．