Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD，E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：面PAB⊥平面PDC．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接AC，則F是AC的中點(diǎn)，E為PC 的中點(diǎn)，證明EF∥PA，留言在線與平面平行的判定定理證明EF∥平面PAD；
（2）先證明CD⊥PA，然后證明PA⊥PD．利用直線與平面垂直的判定定理證明PA⊥平面PCD，最后根據(jù)面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC．

解答： 證明：（1）連接AC，由正方形性質(zhì)可知，AC與BD相交于BD的中點(diǎn)F，F(xiàn)也為AC中點(diǎn)，E為PC中點(diǎn)．
所以在△CPA中，EF∥PA，
又PA?平面PAD，EF?平面PAD，
所以EF∥平面PAD；
（2）平面PAD⊥平面ABCD
平面PAD∩面ABCD=AD⇒CD⊥平面PAD⇒CD⊥PA
正方形ABCD中CD⊥ADPA?平面PADCD?平面ABCD
又PA=PD=

2

2

AD，所以PA²+PD²=AD²
所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=

π

2

，即PA⊥PD．
因?yàn)镃D∩PD=D，且CD、PD?面PDC
所以PA⊥面PDC
又PA?面PAB，
所以面PAB⊥面PDC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．