Question

2．已知F₁、F₂是橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點，P是橢圓上一點，且PF₂⊥F₁F₂，∠PF₁F₂=$\frac{π}{6}$．則橢圓的離心率是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 PF₂⊥F₁F₂，∠PF₁F₂=$\frac{π}{6}$，由勾股定理可知：|PF₁|=2x，|F₁F₂|=$\sqrt{3}$x，由橢圓的定義可知：|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，即可求得a和c值，根據橢圓的離心率公式，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：由題意可知：橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，|PF₂|=x，
PF₂⊥F₁F₂，∠PF₁F₂=$\frac{π}{6}$，
∴|PF₁|=2x，|F₁F₂|=$\sqrt{3}$x，
又|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，
∴2a=3x，2c=$\sqrt{3}$x，

∴C的離心率為：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選B．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查勾股定理的應用，考查數形結合思想，屬于中檔題，