Question

13．已知a為實數，函數f（x）=（x-a）²+|x-a|-a（a-1）．
（Ⅰ）若f（0）≤1，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當a≥2時，討論f（x）+$\frac{4}{x}$在區(qū)間（0，+∞）內零點的個數．

Answer 1

分析 （I）由已知可得f（0）=$\left\{\begin{array}{l}2a，a≥0\\ 0，a＜0\end{array}\right.$，若f（0）≤1，則2a≤1，解得：a的取值范圍；
（Ⅱ）當a≥2時，f（x）+$\frac{4}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}x[x-（2a-1）]+\frac{4}{x}，x≥a\\（x-1）（x-2a）+\frac{4}{x}，0＜x＜a\end{array}\right.$，分類討論，可得f（x）+$\frac{4}{x}$在區(qū)間（0，+∞）內零點的個數．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=（x-a）²+|x-a|-a（a-1）．
∴f（0）=a²+|a|-a（a-1）=$\left\{\begin{array}{l}2a，a≥0\\ 0，a＜0\end{array}\right.$，
若f（0）≤1，則2a≤1，
解得a$≤\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）設F（x）=f（x）+$\frac{4}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}x[x-（2a-1）]+\frac{4}{x}，x≥a\\（x-1）（x-2a）+\frac{4}{x}，0＜x＜a\end{array}\right.$，
則函數F（x）的圖象在區(qū)間（0，+∞）上連續(xù)，
（1）當a=2時，
①若x≥2，則F（x）=${x}^{2}-3x+\frac{4}{x}$，
F′（x）=2x-3-$\frac{4}{{x}^{2}}$≥0恒成立，即F（x）為增函數，
又由F（2）=0，
故此時f（x）+$\frac{4}{x}$在區(qū)間（0，+∞）有且只有一個零點；
②若0＜x＜2，則F（x）=${x}^{2}-5x+4+\frac{4}{x}$，由${x}^{2}-5x+4＞-2，\frac{4}{x}＞2$得：
F（x）＞0恒成立，
故此時f（x）+$\frac{4}{x}$在區(qū)間（0，+∞）沒有零點；
（2）當a＞2時，
①若x≥a，則F（x）=$x[x-（2a-1）]+\frac{4}{x}$，
F′（x）=2x-（2a-1）-$\frac{4}{{x}^{2}}$＞0恒成立，即F（x）為增函數，
②若0＜x＜a，則F（x）=${x}^{2}-5x+4+\frac{4}{x}$，由${x}^{2}-5x+4＞-2，\frac{4}{x}＞2$得：
F（x）=2x-（2a+1）-$\frac{4}{{x}^{2}}$＜0恒成立，即F（x）為減函數，
又由F（a）=a-a²+$\frac{4}{a}$＜0，
故此時f（x）+$\frac{4}{x}$在區(qū)間（0，+∞）有兩個零點；
綜上所述，當a=2時，F（x）有一個零點，a＞2時F（x）有兩個零點

點評 本題考查的知識點比較多，包括絕對值不等式的解法，函數的零點，函數的導數以及導數與函數的單調性的關系，考查分類討論思想的應用，函數與方程的思想，轉化思想的應用，也考查化歸思想的應用．