Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點A（a，4）到其準線的距離為．
（Ⅰ）求p與a的值；
（Ⅱ）設(shè)拋物線C上動點P的橫坐標為t（0＜t＜2），過點P的直線交C于另一點Q，交x軸于M點（直線PQ的斜率記作k）．過點Q作PQ的垂線交C于另一點N．若MN恰好是C的切線，問k²+tk-2t²是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

Answer 1

解：（I）可得拋物線的準線方程為，由題意可得，解得．
∴拋物線的方程為x²=y．把點A（a，4）代人此方程得a²=4，解得a=±2．
∴a=±2，．
（II）由題意可知：過點P（t，t²）的直線PQ的斜率k不為0，則直線PQ：y-t²=k（x-t），
當y=0時，，∴M．
聯(lián)立消去y得（x-t）[x-（k-t）]=0，
解得x=t，或x=k-t．∴Q（k-t，（k-t）²），
∵QN⊥QP，∴，∴直線NQ：，
聯(lián)立，消去y化為，解得x=k-t，或．
∴N，∴拋物線在點N處的切線的斜率為=，
另一方面k_MN=，
∴，
∵，∴，化為k²+tk-2t²=-1為定值．
分析：（I）利用拋物線的定義和點在拋物線上滿足的條件即可得出；
（II）由題意可知：過點P（t，t²）的直線PQ的斜率k不為0，則直線PQ：y-t²=k（x-t），即可求出點M的坐標，把直線PQ的方程與拋物線的方程聯(lián)立即可得出點Q的坐標．由QN⊥QP，即可得出直線QN的方程，與拋物線方程聯(lián)立即可得出點N的坐標，利用導數(shù)和斜率的計算公式即可得出直線MN兩種形式的斜率，化簡即可證明結(jié)論．
點評：熟練掌握拋物線的定義及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立即可得到交點的坐標、導數(shù)的幾何意義與切線的斜率關(guān)系、斜率的計算公式設(shè)解題的關(guān)鍵．