Question

3．設(shè)A，B是拋物線y=x²上兩點，O是坐標原點，若OA⊥OB，則下列結(jié)論正確的有①②③④
①|(zhì)OA|•|OB|≥2；②|OA|+|OB|≥2$\sqrt{2}$；
③直線AB過拋物線y=x²的焦點；④O到直線AB的距離小于或等于1．

Answer 1

分析 設(shè)直線AB方程為y=kx+b，將直線AB方程代入拋物線方程y=x²，利用韋達定理，結(jié)合直線垂直的條件，能夠證明直線AB過定點，即可判斷結(jié)論．

解答 解：設(shè)直線AB方程為y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線AB方程代入拋物線方程y=x²，
得x²-kx-b=0，
則x₁+x₂=k，x₁x₂=-b，
∵OA⊥OB，∴k_OA•k_OB=-b=-1，b=1．
于是直線AB方程為y=kx+1，該直線過定點（0，1）．故③正確；
O到直線AB的距離d=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，即④正確；
當(dāng)k=0時，|OA||OB|取得最小值2，∴①|(zhì)OA|•|OB|≥2正確；②由基本不等式，可得|OA|+|OB|≥2$\sqrt{2}$正確．
故答案為①②③④．

點評 本題考查直線過定點的證明，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．