Question

12．定義在（0，+∞）上的單調(diào)遞減函數(shù)f（x），若f（x）的導(dǎo)函數(shù)存在且滿足$\frac{f（x）}{f'（x）}＞-x$，則下列不等式成立的是（　　）

• A． 3f（2）＜2f（3）
• B． 3f（4）＜4f（3）
• C． $\frac{f（3）}{4}＞\frac{f（4）}{3}$
• D． f（2）＜2f（1）

Answer 1

分析 由題意構(gòu)造g（x）=xf（x），求出g′（x），化簡(jiǎn)已知的式子后，結(jié)合題意判斷出g′（x）的符號(hào)，可得g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性可得答案

解答 解：設(shè)g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x），
因?yàn)槎�義在（0，+∞）上的單調(diào)遞減函數(shù)f（x），
所以x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
由$\frac{f（x）}{f'（x）}＞-x$，得 $\frac{f（x）}{f′（x）}$+x＞0，則 $\frac{xf′（x）+f（x）}{f′（x）}$＞0，
則當(dāng)∈（0，+∞）時(shí)，f（x）+xf′（x）＜0，即g′（x）＜0，
所以函數(shù)g（x）在（0，+∞）上遞減，
則g（3）＞g（4），即$\frac{f（3）}{4}$＞$\frac{f（4）}{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及構(gòu)造函數(shù)法，屬于中檔題．