Question

4．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=f（x）+x²-3x的單調(diào)區(qū)間及極值；
（Ⅲ）對(duì)?x≥1，f（x）≤m（x²-1）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，然后求解切線的斜率，求切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求切線方程．
（Ⅱ）先求導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間和極值．

解答 解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=1+lnx，
∴f′（1）=1，f（1）=0，
∴曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程y-0=1×（x-1）
即y=x-1．
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=f（x）+x²-3x=xlnx+x²-3x，
∴g′（x）=1+lnx+2x-3=lnx+2x-2，
令g（x）=0，解得x=1，
當(dāng)g′（x）＞0時(shí)，解得x＞1，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
由g′（x）＜0，解得0＜x＜1，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
故函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有極小值，極小值為g（1）=-2，無極大值
（Ⅲ）∵?x≥1，f（x）≤m（x²-1）成立，
∴m≥$\frac{xlnx}{{x}^{2}-1}$，
令h（x）=$\frac{xlnx}{{x}^{2}-1}$，
$\underset{lim}{x→1}$$\frac{xlnx}{{x}^{2}-1}$=$\underset{lim}{x→1}$$\frac{1+lnx}{2x-1}$=$\frac{1}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的方法判斷單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．