Question

6．已知a＞0，函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1-a}{2}{x^2}+ax-\frac{4}{3}，x≤1}\\{（a-1）lnx+\frac{1}{2}{x^2}-ax，x＞1}\end{array}}\right.$若f（x）在區(qū)間（-a，2a）上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{10}{9}$]．

Answer 1

分析 討論f（x）在（-∞，1]遞增，區(qū)間（-a，2a）⊆（-∞，1]，求得f（x）的導數(shù)，令f′（x）≥0在區(qū)間（-a，2a）上恒成立，即有f′（-a）≥0且f′（2a）≥0；若f（x）在（-∞，+∞）遞增，則f（x）在x＞1遞增，求得導數(shù)，令導數(shù)大于等于0，可得a的范圍；注意-$\frac{1}{3}$+$\frac{1-a}{2}$+a-$\frac{4}{3}$≤（a-1）ln1+$\frac{1}{2}$-a，解不等式求交集，即可得到所求范圍．

解答 解：當x≤1時，f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1-a}{2}$x²+ax-$\frac{4}{3}$的導數(shù)為f′（x）=-x²+（1-a）x+a，
若f（x）在區(qū)間（-a，2a）上單調(diào)遞增，且2a≤1，
則f′（x）≥0在區(qū)間（-a，2a）上恒成立，
即有x²-（1-a）x-a≤0，
可得（-a）²-（1-a）（-a）-a≤0，且（2a）²-2（1-a）a-a≤0，
解得0＜a≤$\frac{1}{2}$；①
若f（x）在（-∞，+∞）遞增，
即有f（x）在（1，+∞）遞增，
即有f（x）=（a-1）lnx+$\frac{1}{2}$x²-ax的導數(shù)$\frac{a-1}{x}$+x-a≥0在（1，+∞）恒成立．
即有（x-1）（x-a+1）≥0在（1，+∞）恒成立．
即有a-1≤1，即a≤2；②
又-$\frac{1}{3}$+$\frac{1-a}{2}$+a-$\frac{4}{3}$≤（a-1）ln1+$\frac{1}{2}$-a，
解得a≤$\frac{10}{9}$．③
由①②③可得0＜a≤$\frac{10}{9}$．
故答案為：（0，$\frac{10}{9}$]．

點評 本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查導數(shù)的運用：求單調(diào)性，考查分類討論思想方法，考查化簡整理能力，屬于中檔題．