Question

已知橢圓中心為O，右頂點(diǎn)為M，過(guò)定點(diǎn)D（t，0）（t≠±2）作直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）若直線l與x軸垂直，求三角形OAB面積的最大值；
（2）若，直線l的斜率為1，求證：∠AMB=90°；
（3）在x軸上，是否存在一點(diǎn)E，使直線AE和BE的斜率的乘積為非零常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和這個(gè)常數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)直線l與x軸垂直，可知A，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為t，把x=t代入橢圓方程，即可求出，縱坐標(biāo)，再利用面積公式，就可把三角形OAB的面積用含t的式子表示，再用均值不等式求出最大值即可．
（2）當(dāng)，直線l的斜率為1時(shí)，可得直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出A，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和與之積，再通過(guò)判斷直線MA，MB斜率之積是否等于-1，來(lái)證明直線MA，MB垂直，：∠AMB=90°．
（3）先假設(shè)在x軸上，存在一點(diǎn)E，使直線AE和BE的斜率的乘積為非零常數(shù)．設(shè)直線方程為：y=k（x-t），
與橢圓方程聯(lián)立，求出x₁+x₂，x₁x₂，帶著參數(shù)t計(jì)算直線AE和BE的斜率的乘積，看是否為非零常數(shù)，即可得到假設(shè)是否正確．
解答：解：（1）設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
把x=t代入可得：，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)    
（2）由得125x²-240x+44=0，，
所以 =
==∠AMB=90°         
（3）當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線方程為：y=k（x-t），
由消去y整理得（4k²+1）x²-8k²tx+4k²t²-4=0
則①又 ②
若存在定點(diǎn)E（m，0）符合題意，且k_AE×k_BE=s（s為非零常數(shù)），則
把①、②式代入上式整理得k²[4s（t-m）²-（t²-4）]+s（m²-4）=0（其中m、t、s都是常數(shù)）
要使得上式對(duì)變量k（k≠0）恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，解得m=±2
當(dāng)m=2時(shí)，定點(diǎn)E就是橢圓的右頂點(diǎn)（2，0），此時(shí)，；
當(dāng)m=-2時(shí)，定點(diǎn)E就是橢圓的左頂點(diǎn)（-2，0），此時(shí)，；  
當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，由，解得兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，
可驗(yàn)證：或
所以，存在一點(diǎn)E（2，0）（或（-2，0）），使直線AE和BE的斜率的乘積為非零常數(shù)（或）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷，屬于常規(guī)題