Question

已知橢圓中心為O，右頂點(diǎn)為M，過(guò)定點(diǎn)D（t，0）（t≠±2）作直線(xiàn)l交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）若直線(xiàn)l與x軸垂直，求三角形OAB面積的最大值；
（2）若，直線(xiàn)l的斜率為1，求證：∠AMB=90°；
（3）直線(xiàn)AM和BM的斜率的乘積是否為非零常數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先把x=t代入可得：從而得出面積的函數(shù)表達(dá)式，最后利用基本不等式求其最大值即可；
（2）聯(lián)立 得125x²-240x+44=0，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行求解．
（3）先分類(lèi)討論：①當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)方程為：y=k（x-t），由消去y整理得（4k²+1）x²-8k²tx+4k²t²-4=0，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行求解．
②當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，利用同樣的方法求解即可．
解答：解：設(shè)直線(xiàn)l與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（1）把x=t代入可得：，（2分）
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)（4分）
（2）由得125x²-240x+44=0，，（6分）
所以===∠AMB=90°（9分）
（3）直線(xiàn)AM和BM的斜率的乘積是一個(gè)非零常數(shù)．（11分）
當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)方程為：y=k（x-t），
由消去y整理得（4k²+1）x²-8k²tx+4k²t²-4=0
則①又②（13分）
所以（15分）
當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，由得兩交點(diǎn)，
顯然．
所以直線(xiàn)AM和BM的斜率的乘積是一個(gè)非零常數(shù)．（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線(xiàn)和直線(xiàn)的位置關(guān)系和綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．