Question

16．已知點(diǎn)P（-1，4）及圓C：（x-2）²+（y-3）²=1．則下列判斷正確的序號為②③．
①點(diǎn)P在圓C內(nèi)部；
②過點(diǎn)P做直線l，若l將圓C平分，則l的方程為x+3y-11=0；
③過點(diǎn)P做直線l與圓C相切，則l的方程為y-4=0或3x+4y-13=0；
④一束光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C上的最短路程為$\sqrt{58}$．

Answer 1

分析 由圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，由兩點(diǎn)之間的距離公式判斷出①；根據(jù)直徑平分圓和點(diǎn)斜式方程求出直線l的方程判斷②；由題意設(shè)出直線l的方程為y-4=k（x+1），由直線與圓相切的條件和點(diǎn)到直線的距離公式列出方程求出k，化簡后即可判斷③；根據(jù)入射光線與反射光線的對稱性、圓外一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)距離最值問題判斷④．

解答 解：由題意得，圓心C（2，3）、半徑r=1，
①、由于|PC|=$\sqrt{（2+1）^{2}+（3-4）^{2}}$=$\sqrt{10}＞$ 1，則點(diǎn)P在圓C外部，①不正確；
②、若l將圓C平分，則l過圓心（2，3），
所以直線l的方程：y-3=$\frac{4-3}{-1-2}$（x-2），即x+3y-11=0，②正確；
③、由題意設(shè)過點(diǎn)P直線l的方程為y-4=k（x+1），即kx-y+k+4=0，
∴$\frac{|2k-3+k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，化簡解得k=0或k=$-\frac{3}{4}$，
代入可得直線l的方程是y-4=0或3x+4y-13=0，③正確；
④、∵點(diǎn)P（-1，4）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)P′（-1，-4），
∴從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C上的最短路程轉(zhuǎn)化為：
點(diǎn)P′與圓C上點(diǎn)之間的距離的最小值，
∵P′C=$\sqrt{（2+1）^{2}+（3+4）^{2}}$=$\sqrt{58}$，∴所求的最短路程是$\sqrt{58}$-1，④不正確，
故答案為：②③．

點(diǎn)評 本題考查了點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系，圓的切線性質(zhì)，圓外一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)距離最值問題等，以及兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線的距離公式，考查知識點(diǎn)多，較綜合．