Question

6．某城市理論預(yù)測(cè)2007年到2011年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如表所示

年份2007+x（年）	0	1	2	3	4
人口數(shù)y（十萬(wàn)）	5	7	8	11	19

（1）請(qǐng)根據(jù)表提供的數(shù)據(jù)，求最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；
（2）據(jù)此估計(jì)2012年該城市人口總數(shù)．
參考公式：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x}\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$$，\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．

Answer 1

分析 （1）先求出年份2007+x和人口數(shù)y的平均值，即得到樣本中心點(diǎn)，利用最小二乘法得到線性回歸方程的系數(shù)，根據(jù)樣本中心點(diǎn)在線性回歸直線上，得到a的值，得到線性回歸方程；
（2）當(dāng)x=5代入回歸直線方程，即可求得$\hat y=19.6$．

解答 解：（1）∵$\overline x=2，\overline y=10$，…2分
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132$，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}={0^2}+{1^2}+{2^2}+{3^2}+{4^2}=30$…4分
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline{xy}}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}=3.2，\hat a=\overline y-\hat b\overline x=3.6$…6分
故y關(guān)于x的線性回歸方程為$\hat y=3.2x+3.6$；…8分
（2）當(dāng)x=5時(shí)，$\hat y=3.2*5+3.6$，即$\hat y=19.6$…10分
據(jù)此估計(jì)2012年該城市人口總數(shù)約為196萬(wàn)…12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查采用最小二乘法求線性回歸方程及線性回歸方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．