Question

1．已知向量$\overrightarrow a$=（${2sin\frac{x}{4}$，cos$\frac{x}{2}}$），$\overrightarrow b$=（cos$\frac{x}{4}$，1），且f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-π，π]上的最大值和最小值及取得最值時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，整體思維求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-π，π]上的最大值和最小值及取得最值時(shí)x的值．

解答 解：（Ⅰ） $f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=2sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}+cos\frac{x}{2}$…（1分）
=$sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}$…（2分）
=$\sqrt{2}（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin\frac{x}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}cos\frac{x}{2}}）$…（3分）
=$\sqrt{2}（{sin\frac{x}{2}cos\frac{π}{4}+cos\frac{x}{2}sin\frac{π}{4}}）$=$\sqrt{2}sin（{\frac{x}{2}+\frac{π}{4}}）$…（5分）
∴f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{{\frac{1}{2}}}=4π$…（6分）
（Ⅱ）∵x∈[-π，π]，∴$\frac{x}{2}+\frac{π}{4}∈[{-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}}]$，…（7分）
當(dāng)$\frac{x}{2}+\frac{π}{4}=-\frac{π}{4}$，即x=-π時(shí)，$f{（x）_{min}}=\sqrt{2}sin（{-\frac{π}{4}}）=-\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=-1$；…（9分）
當(dāng)$\frac{x}{2}+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{2}$時(shí)，$f{（x）_{max}}=\sqrt{2}sin\frac{π}{2}=\sqrt{2}$…（11分）
∴當(dāng)x=-π時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值-1；當(dāng)$x=\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值$\sqrt{2}$．                …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積公式，輔助角公式，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，正確化簡(jiǎn)是關(guān)鍵．