14．已知正四面體ABCD，則直線BC與平面ACD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

分析 取AD中點E，連結(jié)CE，過B作BO⊥CE，交CE于點O，則∠BCO就是線BC與平面ACD所成角，由此能求出結(jié)果．

解答 解：如圖，取AD中點E，連結(jié)CE，過B作BO⊥CE，交CE于點O，
則∠BCO就是線BC與平面ACD所成角，
設(shè)正四面體ABCD的棱長為2，
則CO=$\frac{2}{3}CE$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{4-1}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴cos∠BCO=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sin∠BCO=$\sqrt{1-\frac{3}{9}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

4．設(shè)命題p：2x＜1，命題q：x2＜1，則p是q成立的（　�。�
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件

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5．下列各式中成立的是（　�。�
A．${（{\frac{m}{n}}）^2}={n^2}{m^{\frac{1}{2}}}$B．$\sqrt{\root{3}{9}}=\root{3}{3}$C．$\root{4}{{{x^3}+{y^3}}}={（x+y）^{\frac{3}{4}}}$D．$\root{4}{{{{（-3）}^4}}}=-3$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

2．動點M與定點F（5，0）的距離和它到直線x=$\frac{9}{5}$的距離的比為$\frac{5}{3}$，則點M的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．

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9．已知f（x）=x3-3x+3+m（m＞0）．在區(qū)間[0，2]上存在三個不同的實數(shù)a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形是直角三角形．則m的取值范圍是（　�。�
A．$（3+4\sqrt{2}，+∞）$B．$（2\sqrt{2}-1，+∞）$C．$（0，2\sqrt{2}-1）$D．$（0，3+4\sqrt{2}）$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

19．在△ABC中，$B（{\sqrt{3}，0}）$、$C（{-\sqrt{3}，0}）$，動點A滿足$|AC|+|AB|=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}|BC|$．
（1）求動點A的軌跡D的方程；
（2）若點$P（{\frac{1}{2}，\frac{1}{4}}）$，經(jīng)過點P作一條直線l與軌跡D相交于點M，N，并且P為線段MN的中點，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

6．設(shè)實數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}2x-y-1≥0\\ x-2y+1≤0\\ x+y-5≤0\end{array}$，則當(dāng)z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最小值2時，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值是（　　）
A．$\frac{{5+2\sqrt{6}}}{2}$B．$5+2\sqrt{6}$C．$\frac{1}{2}$D．2

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3．已知拋物線C：y2=8x焦點為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，O是坐標(biāo)原點，若$\overrightarrow{FP}=4\overrightarrow{FQ}$，則|QO|=（　�。�
A．2B．$\frac{3}{2}$C．$\frac{4}{3}$D．3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn+2an=3（n∈N*），設(shè)數(shù)列{bn}滿足b1=a1，bn=$\frac{2_{n-1}}{_{n-1}+2}$（n≥2）．
（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；
（2）設(shè)${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．

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