Question

12．已知$x，y∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]，a∈R$，且x³+sinx-2a=0，4y³+$\frac{1}{2}$sin2y+a=0，則cos（x+2y）的值為（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $-\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 設(shè)f（u）=u³+sinu．根據(jù)題設(shè)等式可知f（x）=2a，f（2y）=-2a，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求得f（x）=-f（2y）=f（-2y）．進(jìn)而推斷出x+2y=0．進(jìn)而求得cos（x+2y）=1．

解答 解：設(shè)f（u）=u³+sinu，可得f（x）=2a，由式得f（2y）=-2a．
因?yàn)閒（u）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上是單調(diào)奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（2y）=f（-2y），
∴x=-2y，即x+2y=0，
∴cos（x+2y）=1，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用函數(shù)思想解決實(shí)際問(wèn)題．考查了學(xué)生運(yùn)用函數(shù)的思想，轉(zhuǎn)化和化歸的思想，屬于中檔題．