Question

已知函數(shù)f（x）=-

1

2

x²-3x+4lnx在[t，t+1]上不單調(diào)，則實數(shù)t的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先由函數(shù)求f′（x）=-x-3+

4

x

，再由“函數(shù)f（x）=-

1

2

x²-3x+4lnx在[t，t+1]上不單調(diào)”轉(zhuǎn)化為“f′（x）=-x-3+

4

x

=0在區(qū)間（t，t+1）上有解”從而有

x2+3x-4

x

=0在（t，t+1）上有解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為：x²+3x-4=0在（t，t+1）上有解，進(jìn)而求出答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=-

1

2

x²-3x+4lnx，
∴f′（x）=-x-3+

4

x

，
∵函數(shù)f（x）=-

1

2

x²-3x+4lnx在（t，t+1）上不單調(diào)，
∴f′（x）=-x-3+

4

x

=0在（t，t+1）上有解
∴

x2+3x-4

x

=0在（t，t+1）上有解
∴g（x）=x²+3x-4=0在（t，t+1）上有解，
由x²+3x-4=0得：x=1，或x=-4（舍），
∴1∈（t，t+1），
即t∈（0，1），
故實數(shù)t的取值范圍是（0，1），
故答案為：（0，1）．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路：當(dāng)函數(shù)是增函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)大于等于零恒成立，當(dāng)函數(shù)是減函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)小于等于零恒成立，然后轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值問題．注意判別式的應(yīng)用．