Question

17．（1）設(shè)函數(shù)f（x）定義在（-1，1）上，g（x）=f（x）+f（-x），h（x）=f（x）-f（-x），求證：g（x）是偶函數(shù)，h（x）是奇函數(shù)．
（2）若函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，請判斷f（x）是否一定能夠表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)之和？請寫出這個偶函數(shù)和奇函數(shù)，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷即可；
（2）可設(shè)出g（x）=$\frac{1}{2}$[f（x）+f（-x）]，h（x）=$\frac{1}{2}$[f（x）+f（-x）]；由（1）可得g（x）為偶函數(shù)，h（x）為奇函數(shù)，得出f（x）=g（x）+h（x）所以得證．

解答 （1）證明：∵f（x）定義在（-1，1）上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜1}\\{-1＜-x＜1}\end{array}\right.$，即-1＜x＜1，
則設(shè)g（x）=f（x）+f（-x），
則g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x），則g（x）為偶函數(shù)，
設(shè)h（x）=f（x）-f（-x），
則h（-x）=f（-x）-f（x）=-[f（x）-f（-x）]=-h（x），則f（x）-f（-x）是奇函數(shù)．
（2）解：若f（x）為定義在（-n，n）上的任意函數(shù)，
則設(shè)g（x）=$\frac{1}{2}$[f（x）+f（-x）]，
h（x）=$\frac{1}{2}$[f（x）+f（-x）]；
由（1）可得g（x）為偶函數(shù)，h（x）為奇函數(shù)．
而f（x）=g（x）+h（x），
所以得證．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．