Question

5．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為8．
（1）試求橢圓的方程；
（2）△ABC的三個頂點均在橢圓C上，且點A在y軸的正半軸上，若以BC為直徑的圓過點A，求證：直線BC恒過定點．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的離心率公式和三角形的面積公式，以及a，b，c的關系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）由題意可得A（0，4），設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），又AB⊥AC，得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=x₁x₂+y₁y₂-4（y₁+y₂）+16=0①，設直線BC方程為y=kx+b代入4x²+5y²=80，利用韋達定理結合①式，即可得直線BC過定點．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{1}{2}$b•2c=8，
又a²-b²=c²，
解得a=2$\sqrt{5}$，b=4，c=2，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1；
證明：（2）由題意可得A（0，4），設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
以BC為直徑的圓過點A，可得AB⊥AC，
且$\overrightarrow{AB}$=（x₁，y₁-4），$\overrightarrow{AC}$=（x₂，y₂-4），
得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=x₁x₂+y₁y₂-4（y₁+y₂）+16=0 ①
設直線BC方程為y=kx+b，代入4x²+5y²=80，
得（4+5k²）x²+10bkx+5b²-80=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{10kb}{4+5{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{5^{2}-80}{4+5{k}^{2}}$，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=$\frac{8k}{4+5{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=$\frac{4^{2}-80{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}$，代入①式得，
$\frac{9^{2}-32b-16}{4+5{k}^{2}}$=0，
解得b=4（舍）或b=-$\frac{4}{9}$，
故直線BC過定點（0，-$\frac{4}{9}$）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用離心率公式和三角形的面積公式，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，以及向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．