Question

19．函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}}$） 的部分圖象 如圖所示，其最小正周期為π；如果x₁，x₂∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$），且f（x₁）=f（x₂），則f（x₁+x₂）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，求得x₁+x₂的值，可得f（x₁+x₂）的值．

解答 解：∵由圖象可得：$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{3}$-（-$\frac{π}{6}$）=$\frac{π}{2}$，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，
∴解得ω=2，
又∵由函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過（-$\frac{π}{6}$，0），
∴0=sin[2×（-$\frac{π}{6}$）+φ]，
∴φ-$\frac{π}{3}$=kπ，（k∈Z），即φ=kπ+$\frac{π}{3}$，（k∈Z），
又∵由|φ|＜$\frac{π}{2}$，則φ=$\frac{π}{3}$，
∴可得：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∵由函數(shù)f（x）的圖象可得，在區(qū)間（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$）上，函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=$\frac{-\frac{π}{6}+\frac{π}{3}}{2}$=$\frac{π}{12}$對(duì)稱．
∵x₁，x₂∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$），且f（x₁）=f（x₂），
∴可得x₁+x₂=2×$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{6}$，
∴f（x₁+x₂）=sin（2×$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：π，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．