Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的左頂點為，過的直線交橢圓于另一點，直線交軸于點，且.

（1）求橢圓的離心率；

（2）若橢圓的焦距為，為橢圓上一點，線段的垂直平分線在軸上的截距為（不與軸重合），求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

(1)設,利用,解得,將其代入橢圓方程可得,再用離心率公式可得;

(2)由(1)及可求得橢圓方程,設的中點為,可求得直線的方程,用中點公式求得點的坐標,將其代入橢圓方程可得一個關于的方程,在直線的方程中令,,也可得一個關于的方程,兩個方程聯(lián)立可解得和,從而可得直線的方程.

（1），設，

因為，

所以，，解得：，，所以，，

因為點在橢圓上，所以有：，即，

所以離心率.

（2）依題意有：，所以，，

又，且，解得：，，

所以橢圓方程為：，

設的中點為，則，故有，

從而的方程為：

令得到，

整理得①,

利用中點公式可得,將其代入橢圓方程得 ,

整理得②,

聯(lián)立①②方程解得或，

當時,可得直線與軸重合,不合題意舍去,

所以,此時,解得或，

故的方程為或者.