Question

已知圓C：x²+y²-4y-12=0，點P（4，0），直線l經(jīng)過點P
（1）若直線l與圓C相切，求直線l的方程
（2）若直線l與圓C相交于A，B兩點，且|AB|=4

3

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：圓的切線方程,直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：（1）若直線l與圓C相切，根據(jù)直線和圓相切的等價條件即可求直線l的方程
（2）根據(jù)弦長公式即可求直線l的方程．

解答： 解：（1）圓的標準方程為x²+（y-2）²=16，圓心C（0，2），半徑R=4，
若直線l與圓C相切，
當直線斜率不存在時，直線方程為x=4，滿足直線和圓相切，
當直線斜率存在，設斜率為k，
則直線l的方程為y=k（x-4），即kx-y-4k=0，
圓心到直線的距離d=

|-2-4k|

1+k2

=4，
即|1+2k|=2

1+k2

，
平方得1+4k+4k²=4+4k²，
解得k=

3

4

，
此時直線方程為

3

4

x-y-4×

3

4

=0，即3x-4y-12=0，
綜上直線l的方程為3x-4y-12=0或x=4．
（2）∵直線l被圓截得的弦長為4

3

，
∴圓心到直線的距離d=

R2-( 4 3 2 )2

 =

16-12

=

4

=2，
當直線斜率不存在時，直線方程為x=4，滿足直線和圓相切，不滿足相交，
故直線斜率存在，設斜率為k，
則直線l的方程為y=k（x-4），即kx-y-4k=0，
圓心到直線的距離d=

|-2-4k|

1+k2

=2，平方得1+4k+4k²=1+k²，
即4k+3k²=0，解得k=0或k=-

4

3

，
即直線方程為y=0或4x-3y-16=0．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，根據(jù)直線和圓相切的等價條件以及直線和相交的弦長公式是解決本題的關鍵．