Question

15．近年來，全國各地?cái)?shù)城市污染嚴(yán)重，為了提出有效的整治方案，將探究車流量與PM2.5的濃度的關(guān)系，現(xiàn)采集到某城市2017年4月份某星期星期一到星期日某一時(shí)間段車流量與PM2.5的數(shù)據(jù)如表：

時(shí)間	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五	星期六	星期七
車流量x（萬輛）	1	2	3	4	5	6	7
PM2.5的濃度y（微克/立方米）	28	30	35	41	49	56	62

（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程；
（2）①利用（1）所求的回歸方程，預(yù)測該市車流量為8萬輛時(shí)PM2.5的濃度；
②規(guī)定：當(dāng)一天內(nèi)PM2.5的濃度平均值在（0，50]內(nèi)，空氣質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)；當(dāng)一天內(nèi)PM2.5的濃度平均值在（50，100]內(nèi)，空氣質(zhì)量等級(jí)為良．為使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或者為良，則應(yīng)控制當(dāng)天車流量在多少萬輛以內(nèi)？（結(jié)果以萬輛為單位，保留整數(shù)）
參考公式：回歸直線的方程是$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$，其中$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．
提示：$\sum_{i=1}^{7}{x}_{i}{y}_{i}$=1372．

Answer 1

分析 （1）由表中數(shù)據(jù)計(jì)算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出系數(shù)$\widehat$、$\widehat{a}$，寫出y關(guān)于x的線性回歸方程；
（2）①利用回歸方程計(jì)算x=8時(shí)$\widehat{y}$的值即可；②根據(jù)題意信息令$\widehat{y}$≤100，求出x的取值范圍，保留整數(shù)即可．

解答 解：（1）由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算$\overline{x}$=$\frac{1}{7}$×（1+2+3+4+5+6+7）=4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$×（28+30+35+41+49+56+62）=43，
又$\sum_{i=1}^{7}$x_iy_i=1372，$\sum_{i=1}^{7}$${{x}_{i}}^{2}$=140，
∴$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{1372-1204}{140-112}$=6，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=43-4×6=19，
∴y關(guān)于x的線性回歸方程是$\widehat{y}$=6x+19；
（2）①利用（1）所求的回歸方程，計(jì)算x=8時(shí)，$\widehat{y}$=6×8+19=67，
∴預(yù)測該市車流量為8萬輛時(shí)PM2.5的濃度67微克/立方米；
②根據(jù)題意信息，令6x+19≤100，
解得x≤13.5，
∴為使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或者為良，則應(yīng)控制當(dāng)天車流量在13萬輛以內(nèi)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用問題，是中檔題．