Question

7．煙臺水果以“棲霞蘋果、萊陽梨、福山大櫻桃”聞名，現(xiàn)從市農(nóng)科院培育的櫻桃樹苗中隨機抽取100棵作為樣本，測得這些樹苗的株高（單位：cm）并繪制頻率分布直方圖如圖所示
（1）由頻率分布直方圖可認為，這些櫻桃樹樹苗的株高X服從正態(tài)分布
N（μ，σ²），其中μ近似為樣本平均數(shù)$\overline{x}$，σ近似為樣本方差s²，利用該正態(tài)分布，求P（79.5＜X＜104.5）
（2）某果農(nóng)買了20棵這種櫻桃樹苗，記ξ表示這20棵樹苗株高位于區(qū)間（79.5 104.5）的棵數(shù)，利用（1）的結(jié)果，求Eξ（結(jié)果保留整數(shù)）
（3）若株高位于區(qū)間（79.5，104.5）的樹苗視為“優(yōu)良”，并以（2）中的Eξ為“優(yōu)良”棵數(shù)．從這20棵樹苗中任取3棵，記η為“優(yōu)良”的棵數(shù)，求η的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：$\sqrt{39}$≈6.25，若Z～N（μ，σ²），則P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9545．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖求出櫻桃樹樹苗的株高的平均數(shù)和方差，從而得到X～N（92，156），由此能求出P（79.5＜X＜104.5）．
（2）由題意知 ξ～B（20，0.6827），由此能求出Eξ．
（3）20棵樹苗中“優(yōu)良”的棵數(shù)為14，η的所有取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出η的分布列和Eη．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖得：
$\overline{x}$=70×0.1+80×0.15+90×0.4+100×0.2+110×0.1+×0.05=92，
S²=22²×0.1+12²×0.15+2²×0.4+8²×0.2+18²×0.1+28²×0.05=156，
∴X～N（92，156），
∴P（79.5＜X＜104.5）=P（92-12.5＜X＜92+12.5）=0.6827．
（2）由題意知 ξ～B（20，0.6827），
∴Eξ=20×0.6827=13.654≈14．
（3）由（2）可知20棵樹苗中“優(yōu)良”的棵數(shù)為14，
則η的所有取值為0，1，2，3，
P（η=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}{C}_{14}^{0}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{20}{1140}$，
P（η=1）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{14}^{1}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{210}{1140}$，
P（η=2）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{14}^{2}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{546}{1140}$，
P（η=3）=$\frac{{C}_{6}^{0}{C}_{14}^{3}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{364}{1140}$，
∴η的分布列為：

η	0	1	2	3
P	$\frac{20}{1140}$	$\frac{210}{1140}$	$\frac{546}{1140}$	$\frac{364}{1140}$

Eη=$\frac{20}{1140}×0+\frac{210}{1140}×1+\frac{546}{1140}×2+\frac{364}{1140}×3$=$\frac{21}{10}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查頻率分布直方圖、正態(tài)分布、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．