Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1 ， ACC1A1均為正方形，AB=AC=1，∠BAC=90，點D是棱B1C1的中點．
（1）求證：AB1∥平面A1DC；
（2）求證：A1D⊥平面BB1C1C．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)AC1交A1C于O點，連結(jié)OD，

∵四邊形AA1C1C是正方形，∴O是AC1的中點，

又點D是棱B1C1的中點，

∴OD∥AB1，∵AB1平面A1DC，OD平面A1DC，

∴AB1∥平面A1DC

（2）證明：∵側(cè)面ABB1A1，ACC1A1均為正方形，

∴A1A⊥A1C1，A1A⊥A1B1，又A1C1平面A1B1C1，A1B1平面A1B1C1，A1B1∩A1C1=A1，

∴A1A⊥平面A1B1C1，∵AA1∥CC1，

∴CC1⊥平面A1B1C1，∵A1D平面A1B1C1，

∴CC1⊥A1D．

又∵A1B1=AB=1，A1C1=AC=1，

∴A1B1=A1C1，∵D是B1C1的中點，

∴A1D⊥B1C1，

又CC1平面BCC1B1，B1C1平面BCC1B1，CC1∩B1C1=C1，

∴A1D⊥平面BCC1B1

【解析】（1）連結(jié)AC1交A1C于O點，連結(jié)OD，由中位線定理可得OD∥AB1 ， 故而AB1∥平面A1DC；（2）由正方形的性質(zhì)得出A1A⊥A1C1 ， A1A⊥A1B1 ， 故A1A⊥平面A1B1C1 ， 于是CC1⊥平面A1B1C1 ， 得出CC1⊥A1D．又三線合一得出A1D⊥B1C1 ， 故而A1D⊥平面BB1C1C．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．