【題目】已知函數(shù), 在和處取得極值,且,曲線在處的切線與直線垂直.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)證明關(guān)于的方程至多只有兩個實數(shù)根(其中是的導(dǎo)函數(shù), 是自然對數(shù)的底數(shù)).
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)先求,根據(jù)韋達定理及列出關(guān)于 的方程組,進而可得結(jié)果;(Ⅱ)圓方程等價于,令,研究函數(shù) 的單調(diào)性,討論與兩種情況分別證明即可.
試題解析:(Ⅰ) ,因為在和處取得極值,
所以和是方程的兩個根,則, ,
又,則,所以.
由已知曲線在處的切線與直線垂直,所以可得,
即,由此可得解得
所以
(Ⅱ)對于,
(1)當(dāng)時,得,方程無實數(shù)根;
(2)當(dāng)時,得,令,
,
當(dāng)時, ;
當(dāng)或時, ;當(dāng)時, .
∴的單調(diào)遞減區(qū)間是和,單調(diào)遞增區(qū)間是,
函數(shù)在和處分別取得極小值和極大值.
, ,
對于,由于恒成立,
且是與軸有兩個交點、開口向上的拋物線,
所以曲線與軸有且只有兩個交點,從而無最大值, .
若時 ,直線與曲線至多有兩個交點;
若 ,直線與曲線只有一個交點;
綜上所述,無論取何實數(shù),方程至多只有兩實數(shù)根.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點,橢圓的左,右頂點分別為.過點的直線與橢圓交于兩點,且的面積是的面積的3倍.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若與軸垂直,是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點,且滿足,試問直線的斜率是否為定值,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面ABB1A1 , ACC1A1均為正方形,AB=AC=1,∠BAC=90,點D是棱B1C1的中點.
(1)求證:AB1∥平面A1DC;
(2)求證:A1D⊥平面BB1C1C.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司2016年前三個月的利潤(單位:百萬元)如下:
月份 | 1 | 2 | 3 |
利潤 | 2 | 3.9 | 5.5 |
(1)求利潤關(guān)于月份的線性回歸方程;
(2)試用(1)中求得的回歸方程預(yù)測4月和5月的利潤;
(3)試用(1)中求得的回歸方程預(yù)測該公司2016年從幾月份開始利潤超過1000萬?
相關(guān)公式:.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點,順次連接橢圓的四個頂點得到的四邊形的面積為,點.
(Ⅰ)求橢圓的方程.
(Ⅱ)已知點,是橢圓上的兩點.
(。┤,且為等邊三角形,求的面積;
(ⅱ)若,證明: 不可能為等邊三角形.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】解答題
(1)在等比數(shù)列{an}中,a5=162,公比q=3,前n項和Sn=242,求首項a1和項數(shù)n.
(2)有四個數(shù),其中前三個數(shù)成等比數(shù)列,其積為216,后三個數(shù)成等差數(shù)列,其和為36,求這四個數(shù).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線: ,曲線: (為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點, 軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求曲線, 的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)曲線: (為參數(shù), , )分別交, 于, 兩點,當(dāng)取何值時, 取得最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,與軸的正半軸交于點,右焦點, 為坐標(biāo)原點,且.
(1)求橢圓的離心率;
(2)已知點,過點任意作直線與橢圓交于兩點,設(shè)直線的斜率,若,求橢圓的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com