Question

7．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x+$\frac{3}{2}$．
（1）當x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]時，求函數y=f（x）的值域；
（2）已知ω＞0，函數g（x）=f（${\frac{ωx}{2}$+$\frac{π}{12}}$），若函數g（x）在區(qū)間[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}}$]上是增函數，求ω的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦的定義域和值域求得f（x）的值域．
（2）利用正弦函數的單調性、定義域和值域，求得ω的范圍，可得ω的最大值．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1+cos2x}{2}+\frac{3}{2}=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+2$．
∵$x∈[{-\frac{π}{6}\;\;，\;\;\frac{π}{3}}]$，∴$2x+\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{6}\;\;，\;\;\frac{5π}{6}}]$，∴$-\frac{1}{2}≤sin（{2x+\frac{π}{6}}）≤1$．
∴函數y=f（x）的值域為$[{\frac{3}{2}\;\;，\;\;3}]$．
（2）$g（x）=f（{\frac{ωx}{2}+\frac{π}{12}}）=sin（{ωx+\frac{π}{3}}）+2$，
當$x∈[{-\frac{2π}{3}\;\;，\;\;\frac{π}{6}}]$，有$ωx+\frac{π}{3}∈[{-\frac{2ωπ}{3}+\frac{π}{3}\;\;，\;\;\frac{ωπ}{6}+\frac{π}{3}}]$，
∵g（x）在$[{-\frac{2π}{3}\;\;，\;\;\frac{π}{6}}]$上是增函數，且ω＞0，
∴$[{-\frac{2ωπ}{3}+\frac{π}{3}\;\;，\;\;\frac{ωπ}{6}+\frac{π}{3}}]⊆[{-\frac{π}{2}+2kπ\(zhòng);\;，\;\;\frac{π}{2}+2kπ}]\;\;，\;\;k∈Z$．
即$\left\{\begin{array}{l}-\frac{2ωπ}{3}+\frac{π}{3}≥-\frac{π}{2}+2kπ\(zhòng)\ \frac{ωπ}{6}+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ\(zhòng)end{array}\right.$，化簡得$\left\{\begin{array}{l}ω≤\frac{5}{4}-3k\\ ω≤1+12k\end{array}\right.$，
∵ω＞0，∴$-\frac{1}{12}＜k＜\frac{5}{12}$，k∈Z，∴k=0，解得ω≤1，
因此，ω的最大值為1，

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的單調性、定義域和值域，屬于中檔題．