Question

2．已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時，f（x）＞1，且對任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，等式f（x）•f（y）=f（x+y）成立，若數(shù)列{a_n}滿足f（a_n+1）=$\frac{1}{f（\frac{1}{1+{a}_{n}}）}$，（n∈N⁺）且a₁=f（0），則下列結(jié)論成立的是（　　）

• A． a₂₀₁₃＞a₂₀₁₆
• B． a₂₀₁₄＜a₂₀₁₆
• C． a₂₀₁₄＞a₂₀₁₅
• D． a₂₀₁₆＞a₂₀₁₅

Answer 1

分析 先由題意得到f（0）=1=a₁，再根據(jù)f（a_n+1）=$\frac{1}{f（\frac{1}{1+{a}_{n}}）}$，得到a_n+1=-$\frac{1}{1+{a}_{n}}$，分別求出a₁，a₂，a₃，a₄，數(shù)列{a_n}是以3為周期的周期數(shù)列，再求出a₂₀₁₃=a₃=-2，a₂₀₁₄=a₁=1，a₂₀₁₅=a₂=-$\frac{1}{2}$，a₂₀₁₆=a₃=-2，即可比較大小

解答 解：∵f（x）•f（y）=f（x+y）恒成立，
∴令x=-1，y=0，則f（-1）•f（0）=f（-1），
∵當(dāng)x＜0時，f（x）＞1，
∴f（-1）≠0，
∴f（0）=1，
∵f（a_n+1）=$\frac{1}{f（\frac{1}{1+{a}_{n}}）}$，∴f（a_n+1）f（$\frac{1}{1+{a}_{n}}$）=1=f（0）
∴f（a_n+1+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$）=f（0）=a₁，
∴a_n+1+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$=0，
即a_n+1=-$\frac{1}{1+{a}_{n}}$，
當(dāng)n=1時，a₂=-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)n=2時，a₃=-2，
當(dāng)n=3時，a₄=1，
∴數(shù)列{a_n}是以3為周期的周期數(shù)列，
∴a₂₀₁₃=a₃=-2，
a₂₀₁₄=a₁=1，
a₂₀₁₅=a₂=-$\frac{1}{2}$，
a₂₀₁₆=a₃=-2，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程是解決本題的關(guān)鍵．