Question

12．已知函數(shù)f（x）=-x³+3x²+a．
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于零，求出x的范圍即可；、
（2）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷函數(shù)的最值．

解答 解：（1）f′（x）=-3x²+6x．
令f′（x）＜0，解得x＜0，或x＞2，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞）．
（2）∵f（-2）=8+12+a=20+a，
f（2）=-8+12+a=4+a，
∴f（-2）＞f（2）．
∵在（0，2）上f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增．
又由于f（x）在[-2，0]上單調(diào)遞減，因此f（0）是f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最小值，
∵f（-2）=20+a=20，
∴a=0，
∴f（x）=-x³+3x²
∴f（0）═0，即函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最小值為0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．