Question

6．已知對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)m，不等式|3m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 由對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，即|x-1-|2x-3|≤$\frac{|2m-1|+|1-m|}{|m|}$恒成立，由$\frac{|2m-1|+|1-m|}{|m|}$≥$\frac{|2m-1+1-m|}{|m|}$=1，因此只需|x-1|-|2x+3|≤1．對(duì)x分類(lèi)討論解出即可得出x的取值范圍．

解答 解：由對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，
即|x-1-|2x-3|≤$\frac{|2m-1|+|1-m|}{|m|}$恒成立，
∵$\frac{|2m-1|+|1-m|}{|m|}$≥$\frac{|2m-1+1-m|}{|m|}$=1，
∴只需|x-1|-|2x+3|≤1．
①當(dāng)x$≤-\frac{3}{2}$時(shí)，原式1-x+2x+3≤1，即x≤-3，所以x≤-3
②當(dāng)$-\frac{3}{2}＜x＜1$時(shí)，原式1-x-2x-3≤1，即x≥-1，所以-1≤x＜1
③當(dāng)x≥1時(shí)，原式x-1-2x-3≤1，即x≥-5，所以x≥1．
綜上x(chóng)的取值范圍為（-∞，-3]∪[-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．