Question

14．為了調(diào)查某中學(xué)學(xué)生在周日上網(wǎng)的時(shí)間，隨機(jī)對(duì)100名男生和100名女生進(jìn)行了不記名的問卷調(diào)查，得到了如下統(tǒng)計(jì)結(jié)果：
表1：男生上網(wǎng)時(shí)間與頻數(shù)分布表

上網(wǎng)時(shí)間（分鐘）	[30，40）	[40，50）	[50，60）	[60，70）	[70，80]
人數(shù)	5	25	30	25	15

表2：女生上網(wǎng)時(shí)間與頻數(shù)分布表

上網(wǎng)時(shí)間（分鐘）	[30，40）	[40，50）	[50，60）	[60，70）	[70，80]
人數(shù)	10	20	40	20	10

（1）若該中學(xué)共有女生600人，試估計(jì)其中上網(wǎng)時(shí)間不少于60分鐘的人數(shù)；
（2）完成表3的2×2列聯(lián)表，并回答能否有90%的把握認(rèn)為“學(xué)生周日上午時(shí)間與性別有關(guān)”；
（3）從表3的男生中“上網(wǎng)時(shí)間少于60分鐘”和“上網(wǎng)時(shí)間不少于60分鐘”的人數(shù)中用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為10的樣本，再從中任取2人，記被抽取的2人中上午時(shí)間少于60分鐘的人數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
表3

	上網(wǎng)時(shí)間少于60分鐘	上網(wǎng)時(shí)間不少于60分鐘	合計(jì)
男生
女生
合計(jì)

附：k²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

P（k2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.076	3.84	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）設(shè)估計(jì)上網(wǎng)時(shí)間不少于60分鐘的人數(shù)為x，依據(jù)題意有$\frac{x}{600}=\frac{30}{100}$，求解即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成表3的2×2列聯(lián)表，利用公式求出k²，與臨界值比較，可得結(jié)論；
（3）因男生中上網(wǎng)時(shí)間少于60分鐘與上網(wǎng)時(shí)間不少于60分鐘的人數(shù)之比為3：2，得到10人中上網(wǎng)時(shí)間少于60分鐘的有6人，X的所有可能取值為0，1，2，代入公式即可求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解．（1）設(shè)估計(jì)上網(wǎng)時(shí)間不少于60分鐘的人數(shù)為x，依據(jù)題意有$\frac{x}{600}=\frac{30}{100}$，解得x=180，
∴估計(jì)其中上網(wǎng)時(shí)間不少于60分鐘的有180人；
（2）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：

	上網(wǎng)時(shí)間少于60分鐘	上網(wǎng)時(shí)間不少于60分鐘	合計(jì)
男生	60	40	100
女生	70	30	100
合計(jì)	130	70	200

其中k²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{200×（60×30-40×70）^{2}}{100×100×130×70}=\frac{200}{91}≈2.198$＜2.706，
故不能有90%的把握認(rèn)為“學(xué)生周日上網(wǎng)時(shí)間與性別有關(guān)”；         
（3）因男生中上網(wǎng)時(shí)間少于60分鐘與上網(wǎng)時(shí)間不少于60分鐘的人數(shù)之比為3：2，
∴10人中上網(wǎng)時(shí)間少于60分鐘的有6人，
X的所有可能取值為0，1，2，
則$P（X=0）=\frac{{{C}_{6}^{0}C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}=\frac{2}{15}$，$P（X=1）=\frac{{{C}_{6}^{1}C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{2}}=\frac{8}{15}$，
$P（X=2）=\frac{{{C}_{6}^{2}C}_{4}^{0}}{{C}_{10}^{2}}=\frac{1}{3}$，
所求分布列為

X	0	1	2
P	$\frac{2}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{3}$

數(shù)學(xué)期望為$EX=0×\frac{2}{15}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{1}{3}=\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率知識(shí)的運(yùn)用，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．