Question

已知函數(shù)f（x）=

alnx

x+1

+

b

x

，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果當(dāng)x＞0，且x≠1時(shí)，f（x）＞

lnx

x-1

+

k

x

，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；利用切線方程求出切線的斜率及切點(diǎn)；利用函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線切線的斜率及切點(diǎn)也在曲線上，列出方程組，求出a，b值．
（II）將不等式變形，構(gòu)造新函數(shù)，求出新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)參數(shù)k分類討論，判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，求出參數(shù)k的范圍．

解答：解：由題意f（1）=1，即切點(diǎn)坐標(biāo)是（1，1）
（Ⅰ）f′(x)=

a( x+1 x -lnx)

(x+1)2

-

b

x2

由于直線x+2y-3=0的斜率為-

1

2

，且過點(diǎn)（1，1），故

f(1)=1 f′(1)=- 1 2

即

b=1 a 2 -b=- 1 2

解得a=1，b=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=

lnx

x+1

+

1

x

，所以
f(x)-(

lnx

x-1

+

k

x

)=

1

1-x2

(2lnx+

(k-1)(x2-1)

x

）．
考慮函數(shù)h(x)=2lnx+

(k-1)(x2-1)

x

（x＞0），則
h′(x)=

(k-1)(x2+1)+2x

x2

．
（i）設(shè)k≤0，由h′(x)=

k(x2+1)- (x-1)2

x2

知，當(dāng)x≠1時(shí)，h′（x）＜0．而h（1）=0，故
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0，可得

1

1-x2

h(x)＞0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，可得

1

1-x2

h（x）＞0
從而當(dāng)x＞0，且x≠1時(shí)，f（x）-（

lnx

x-1

+

k

x

）＞0，即f（x）＞

lnx

x-1

+

k

x

．
（ii）設(shè)0＜k＜1．由于當(dāng)x∈（1，

1

1-k

）時(shí)，（k-1）（x²+1）+2x＞0，故h′（x）＞0，而
h（1）=0，故當(dāng)x∈（1，

1

1-k

）時(shí)，h（x）＞0，可得

1

1-x2

h（x）＜0，與題設(shè)矛盾．
（iii）設(shè)k≥1．此時(shí)h′（x）＞0，而h（1）=0，故當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＞0，可得

1

1-x2

h（x）＜0，與題設(shè)矛盾．
綜合得，k的取值范圍為（-∞，0]

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率、考查構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值、考查發(fā)了討論的數(shù)學(xué)思想方法．