Question

4．已知p：函數(shù)g（x）=2x²-2（2m+1）x-6m（m-1）（x∈R）的圖象在（-1，5）上與x軸有唯一的公共點；q：函數(shù)f（x）=mx³-3（m+1）x²+（3m+6）x+1（m＜0，-1≤x≤1）圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m，如果p或q為真，p且q為假，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時的m的范圍，結(jié)合復(fù)合命題的判斷，得到關(guān)于m的不等式組，解出即可．

解答 解：由已知有g(shù)（x）=2x²-2（2m+1）x-6m（m-1），x∈R．
函數(shù)g（x）的圖象與x軸的公共點的橫坐標(biāo)就是二次方程
x²-（2m+1）x-3m（m-1）=0的實數(shù)根，解得x₁=3m，x₂=1-m．
①當(dāng)x₁=x₂時，有3m=1-m⇒m=$\frac{1}{4}$，此時x₁=x₂=$\frac{3}{4}$∈（-1，5）為所求，
②當(dāng)x₁≠x₂時，令H（x）=x²-（2m+1）x-3m（m-1），
則函數(shù)g（x）的圖象在（-1，5）上與x軸有唯一的公共點
⇒H（-1）•H（5）≤0，而H（-1）=-3m²+5m+2，H（5）=-3m²-7m+20，
所以（-3m²+5m+2）（-3m²-7m+20）≤0，
即（m-2）（3m+1）（m+4）（3m-5）≤0，
解得-4≤m≤-$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{3}$≤m≤2，
經(jīng)檢驗端點，當(dāng)m=-4和m=2時，不符合條件，舍去．
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是m=$\frac{1}{4}$或-4＜m≤-$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{3}$≤m＜2，
故p為真時：m=$\frac{1}{4}$或-4＜m≤-$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{3}$≤m＜2，
q：函數(shù)f（x）=mx³-3（m+1）x²+（3m+6）x+1（m＜0，-1≤x≤1）圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m
f'（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6＞3m在區(qū)間[-1，1]恒成立，
即3mx²-6（m+1）x+6＞0在區(qū)間[-1，1]恒成立，
設(shè)F（x）=3mx²-6（m+1）x+6＞0，則有
$\left\{\begin{array}{l}{F（-1）=9m+12＞0}\\{F（1）=-3m＞0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{4}{3}$＜m＜0，
故q為真時：-$\frac{4}{3}$＜m＜0，
如果p或q為真，p且q為假，
則p，q一真一假，
則$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{4}或-4＜m≤-\frac{1}{3}或\frac{5}{3}≤m＜2}\\{m≥0或m≤-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}＜m＜\frac{5}{3}且m≠\frac{1}{4}或m≥2或m≤-4}\\{-\frac{4}{3}＜m＜0}\end{array}\right.$，
解得：-4＜m≤-$\frac{4}{3}$或m=$\frac{1}{4}$或$\frac{5}{3}$≤m＜2或-$\frac{1}{3}$＜m＜0．

點評 本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查二次函數(shù)以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．